Gauss Integral

Written by Gemini,

\int_{- \infty}^{\infty} e^{- z^{2}} d z = π

적분 제곱: 먼저 위 적분의 제곱을 고려합니다. 편의를 위해 적분 변수를 $x$ 와 $y$ 로 바꾸어 두 개의 동일한 적분의 곱으로 나타냅니다.

(\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x) (\int_{- \infty}^{\infty} e^{- y^{2}} d y) = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} e^{- y^{2}} d x d y

이는 다음과 같이 합쳐질 수 있습니다.

\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y

x = r cos θ

y = r sin θ

x^{2} + y^{2} = r^{2}

d x d y = r d r d θ

적분 구간은 $x$와 $y$가 각각 $-\infty$에서 $\infty$까지 변하므로, 극좌표에서는 $r$이 $0$에서 $\infty$까지 변하고, $\theta$는 $0$에서 $2\pi$까지 변합니다. 따라서 적분은 다음과 같이 바뀝니다.

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r d θ

적분 계산: 이제 이중 적분을 계산합니다. 먼저 $r$ 에 대한 적분을 수행합니다. $s = r^{2}$ 로 치환하면 $d s = 2 r d r$ 가 되므로 $r d r = \frac{1}{2} d s$ 입니다. $r = 0$ 일 때 $s = 0$ 이고, $r \to \infty$ 일 때 $s \to \infty$ 입니다.

\int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r = \int_{0}^{\infty} e^{- s} \frac{1}{2} d s = \frac{1}{2} [- e^{- s}]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2} (- (0 - 1)) = \frac{1}{2}

다음으로 $\theta$에 대한 적분을 수행합니다.

\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} d θ = \frac{1}{2} [θ]_{0}^{2 π} = \frac{1}{2} (2 π - 0) = π

따라서 이중 적분의 값은 다음과 같습니다.

\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y = π

(\int_{- \infty}^{\infty} e^{- z^{2}} d z)^{2} = π

가우스 함수 $e^{-z^2}$는 항상 양수이므로, 그 적분 값 역시 양수여야 합니다. 따라서 제곱근을 취하면 다음 결과를 얻습니다.

\int_{- \infty}^{\infty} e^{- z^{2}} d z = π